1. В Риме до конца 8-го века существовало герцогство Римское, светская власть над Римом принадлежала герцогу. Впоследствии светская власть в городе перешла к папе, а территория герцогства вошла в состав Папской области. А носил ли папа Римский по этому поводу титул герцога Римского?
Нет. Римский дукат во главе с дуксом формально относился к византийским владениям, как и Неаполитанский дукат, Равеннский экзархат и некоторые другие подобные территории в Италии.
Дуксы (дуки) назначались экзархом (после падения экзархата - стратигом Сицилии) по согласованию с императором. Со временем они стали автономными от Византии. С падением Равеннского экзархата и усилением власти папы римского право назначения римского дукса переходит к папе. После 778/781 гг. папа дуксов больше не назначает. Последний раз дукс (по имени Сергий) упоминается под 815 годом.
Римские дуксы
Пётр (до 725)
Марин (с 725)
Стефан (743)
Тото (767—768)
Гратиос (769—772)
Иоанн (с 772)
Теодор (772)
Леонин (795)
Сергий (815)
В Неаполе дукс появился после восстания 615 года, в 638 году. Император Констант II в 661 году даровал Неаполитанскому дукату самоуправление. В период иконоборчества Неаполь вместо Византии стал ориентироваться на римского папу, а в 763 году признал папу сюзереном. С 840 года власть дукса стала наследственной, а в 1139 г. Неаполь перешёл к правившим в Южной Италии норманнам.
2. Какие феодальные и государственные образования, за пределами Папской области, принадлежали папам или были вассалами Святого престола (королевства, графства и т. п.)?
Из королевств, насколько мне известно, в разное время вассальными Святому престолу были Англия, Сицилия, Арагон.
Папы контролировали с 756 года (падение королевства лангобардов) в Центральной Италии области Лаций, Умбрию и Романью. Но до 1434 года параллельно существовала другая власть. В 887-1058 г. в Риме правили принцы, сенаторы и консулы из родов Феофилактов (до 963 г.) и Кресценциев (до 1046 г.). Были перерывы, когда правил император или папа. В 1058-1108 гг. Рим был аристократической республикой. В 1108-1228 гг. правили префекты. В 1177 г. император признал папу суверенным принцем города, отказавшись от всех прав на эту территорию. В 1228-1434 гг. Римом правила пара сенаторов. Затем Рим перешёл под прямое управление папы и коллегии кардиналов.
В пределах папской области города могли какое-то время и не контролироваться папой, иметь своего правителя, быть республикой или оккупироваться кем-то. То же было и в остальной Италии. Например, Коспайя в Перудже до 1440 года принадлежала папе, потом стала республикой. Модена принадлежала папе в 1327-1328 гг., остальное время имела сеньора или была республикой. То же с Пармой в 1512-1545 гг.
Авиньон во Франции был под прямым правлением папы с 1309 г., а в 1274-1290 гг. тоже принадлежал папе, но не входил в Папское государство.
В Италии некоторые епархии напрямую подчинялись Святому Престолу:
1) архиепископы
Amalfi
Ancona
Aquila
Camerino
Catania
Cosenza
Ferrara
Gaeta
Lucca
Perugia
Rossano
Spoleto
Udine
2) епископы
Aci-Reale
Aquapendente
Alatri
Amelia
Anagni
Aquino, Sora & Pontecorvo
Arezzo
Ascoli
Assisi
Aversa
Bagnorea
Borgo S. Donnino
Cava & Sarno
Citta della Pieve
Citta di Castello
Civita Castellana, Orte and Gallese
Corneto Tarquinia & Civitavecchia
Cortona
Fabriano & Matelica
Fano
Ferentino
Foggia
Foligno
Gravina & Monte Peloso
Gubbio
Jesi
Luni-Sarzana
S. Marco & Bisignano
Marsi
Melfi & Rapolla
Mileto
Molfetta Terlizzi & Giovenazzo
Monopoli
Montalcino
Montefiascone
Montepulciano
Nardo
Narni & Terni
Nocera
Norcia
Orvieto
Osimo & Cingoli
Parma
Penne & Atri
Placenza
Plenza
Poggio Mirteto
Recanati & Loreto
Rieti
Segni
Sutri & Napi
Teramo
Terracina and Piperno
Tivoli
Todi
Treia
Trivento
Troia
Umana
Valva & Sulmona
Veroli
Viterbo and Toscanella
Вассалами считались все верховные сюзерены (короли и императоры), но только они могли быть как вассалами папы, так и божьими вассалами.
Германские прелаты считались вассалами императора и после Вормского конкордата (1122 г.) получали двойную инвеституру (юридический акт передачи земельного владения или должности, закреплявший вассальную зависимость) - от императора и папы.