Арифметическая

[Гиви Чрелашвили]

Задача не очень сложная, хотя некоторую логику проявить для разрешения ее необходимо.
Предлагаю вам задумать любое трехзначное число.
Скажем, 100.
Вы, естественно, можете загадать любое другое.
После этого, припишем к этому числу его же само, чтобы получилось шестизначное.
В нашем конкретном примере это будет число 100100
Вопрос: почему вне зависимости от выбора исходного трехзначного числа, шестизначное число, составленное таким образом, всегда без остатка будет делиться на три простых числа: 7, 11 и 13 ?

 

[Бенни]

Загадка по моей специальности (правда, теорией чисел я не занимаюсь, но все-таки математика есть математика). Отвечать или нет?

 

[Гиви Чрелашвили]

Бенни, ну а как я могу вам запретить отвечать ?
Вы только мне скажите перед тем, как ответить:
в названии какого известного сборника сказок входит число, на базе которого зиждется решение этой загадки ?
Как только вы дадите это название, я вам немедленно зачту отгадку.
Тогда алгоритм вы можете не оглашать, и интрига останется.

 

[Бенни]

"Книга тысячи и одной ночи".

Но, на мой взгляд, по этому числу алгоритм элементарно восстанавливается.

 

[Гиви Чрелашвили]

Естественно, ответ вам засчитан.
Я даже не сомневался.
Ну, это еще надо догадаться о связи этого числа с алгоритмом.
Вообще-то, я с самого начала сказал, что задача нетрудная.

 

[AlexeyP]

Не уверен, что смог бы без подсказки.

7 * 11 * 13 = 1001

А любое шестизначное число, в котором три старших разряда повторяют три младших, можно представить, как:

x * 1001 * 100 + y * 1001 * 10 + z * 1001 , где x - целое число от 1 до 9, а x и z - от 0 до 9. Таким образом, каждый из трех слагаемых делится на делители числа 1001.

 

[Гиви Чрелашвили]

Извините, Алексей, но зачем так сложно ?
Представлять число в таком замысловатом виде...
Всё гораздо проще.
Приписать к трехзначному числу такое же, чтобы получилось шестизначное,
то есть, в нашем примере из 100 сделать 100100, это всё равно, что умножить его на 1001.
Смотрите:

100 * 1001 = 100100

Таким образом, мы сперва умножили число на 1001, а потом разделили его на
простые делители от 1001 - 7, 11 и 13, то есть, если разделить 6-ти значное число последовательно на 7, 11 и 13, мы его разделим на те же 1001 и получим
исходное число.
Проделайте тест до конца.
Возьмите любое трехзначное число.
Припишите к нему такое же, чтобы получилось шестизначное.
Разделите его сначало на 7.
Потом то, что останется (частное), разделите на 11.
Потом снова частное разделите на 13.
В конце получится ровно то трехзначное число, которое вы задумали в начале.
Я сначала думал дать эту задачу именно в таком варианте, с возвратом к исходному трехзначному числу.
Так она смотрелась бы много эффектнее.
Но задача и так легкая, а в таком варианте она стала бы совсем легкой.

 

[AlexeyP]

Понятно...