Парадокс Зенона

[Артемий]

Эту задачу, наверно, все знают -- что Ахилл никогда не догонит черепаху, потому что пока он до нее добежит, она проползет немного, пока он пробежит это немного, она проползет еще немного и так далее до бесконечности.

Я из детства помню, что было какое-то простое и изящное опровержение этого парадокса. Порылся в интернете -- все заумь какая-то. Кто, оказывается, только этим не занимался, начиная от Аристотеля и заканчивая Борхесом. И все как-то неубедительно.

А ни у кого нет, чтобы было убедительно? А?

 

[Aurelius Sulpicius]

Мне эта загадка всегда казалась липовой: сколько бы черепаха не ползла, Ахилл, двигаясь с большей скоростью, все равно ее догонит, сколько бы она не уползала.

 

[johnny]

Апория, кажется, решается с введением фактора времени. Т.е. "накладывая" хронометр на спидометр мы и получаем неизбежное сокращение разрыва. Как то так. Вероятно, математики это объяснят толковее. Или напротив, все запутают окончательно

 

[Утро псового лая]

Апория, кажется, решается с введением фактора времени. Т.е. "накладывая" хронометр на спидометр мы и получаем неизбежное сокращение разрыва.

Сокращение разрыва и так введено условием задачи. Речь идет о его полном исчезновении.

 

[Артемий]

Наиболее понятный для меня вариант опровержения был такой. В условиях задачи принята бесконечная делимость пространства и времени, а для времени это некорректно. Никакой бесконечной делимостью оно не обладает, а идет равномерно и безостановочно. Значит, и скорость Ахилла -- тоже величина неделимая.

 

[rspzd]

Эту задачу, наверно, все знают -- что Ахилл никогда не догонит черепаху, потому что пока он до нее добежит, она проползет немного, пока он пробежит это немного, она проползет еще немного и так далее до бесконечности.

Я из детства помню, что было какое-то простое и изящное опровержение этого парадокса. Порылся в интернете -- все заумь какая-то. Кто, оказывается, только этим не занимался, начиная от Аристотеля и заканчивая Борхесом. И все как-то неубедительно.

А ни у кого нет, чтобы было убедительно? А?

Апория ошибочна, поскольку подразумевает под "догнать" не нахождение с догоняемым объектом в одной точке, а достижение точки, в которой объект находится в момент времени Х. Иными словами, Ахилл никогда не догонит черепаху, потому что он и не собирается ее догонять.

 

[Rzay]

Апория ошибочна, поскольку подразумевает под "догнать" не нахождение с догоняемым объектом в одной точке, а достижение точки, в которой объект находится в момент времени Х. Иными словами, Ахилл никогда не догонит черепаху, потому что он и не собирается ее догонять.

Честно говоря на совсем понятно.

 

[cid]

А как другие апории Зенона?

 

[Michael]

Наиболее понятный для меня вариант опровержения был такой. В условиях задачи принята бесконечная делимость пространства и времени, а для времени это некорректно. Никакой бесконечной делимостью оно не обладает, а идет равномерно и безостановочно. Значит, и скорость Ахилла -- тоже величина неделимая.

И время и пространство может обладать бесконечной делимостью даже в условиях этого пародокса. Дело в том, как Зенон его делит. rspzd очень метко сказал вверху.

Давайте представим для простоты, что Ахилл в два раза быстрее черепахи. У него возьмет время t добежать до места, где она находилась. К этому моменту она уже отползла, и у Ахилла возьмет t/2 добежать до ее нового местоположения. Следующий раз он достигнет новой точки за t/4, затем за t/8, t/16, и т.д.. Но ряд 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... - сходящийся, педел его суммы - 2. То есть, бесконечно деля время, Зенон никогда не выходит за предел 2t. В своем парадоксе он замедляет время до полной его остановки.

В формулировке Зенона "никогда" - это время как угодно близкое, но меньшее 2t. В этом он прав, за время как угодно близкое, но меньшее 2t, Ахилл черепаху не догонит, он догонит ее точно в момент 2t.

 

[Rzay]

А как другие апории Зенона?

Там еще вроде что-то про стрелу было, которая летит, но постоянно находится в одном месте.

 

[Michael]

А как другие апории Зенона?

Они все построены на "непонимании" бесконечно малого, как и в случае черепахи. Одна из них утеврждает, что Ахилл не догонит не только черепахи, но и стоящего на месте столба. Сморите - чтобы добежать до столба ему надо преодолеть половину расстояния до него, затем половину оставшегося расстояния, и так далее до бесконечности. Т.е., столба Ахилл не достигнет "никогда".

Объяснение то же, что и выше для Ахилла и Черепахи. Кстати, в условии со столбом его легче понять интуитивно, но если вы поняли со столбом, вы поймете и про черепаху.

А его самая известная для русскоязычной аудитории апория (про стрелу) "доказывает", что движения нет.

 

[Rzay]

В общем, именно таким вот премудростям афинских философов мы обязаны появлением слова "ахинея".

 

[b-graf]

У Кудрявцева в "Истории физики" ЕМНИП указывается, что парадокс снимается введением понятия скорости. Делится не только расстояние, но и время: за каждый поделенный отрезок времени Ахиллес продвигается дальше, чем черепаха, и наоборот, равное расстояние Ахиллес и черепаха проходят за разное время. Соответственно, чтобы при последовательных делениях пространства получить "никогда", надо просто проигнорировать время. Добавлю от себя, что строго говоря, из делений пространства вообще нельзя ничего вывести о времени. Совершенно неясно, почему последовательность отрезков 1/2, 1/4, 1/8 и т.д. должна быть обязательно расположена во времени - время вводится в нее совершенно произвольно, категория "посрядок" или "последовательность" совершенно не обязательно имеет связь со временем. Почему-то Зенону не пришла идея ввести категорию времени в натуральный ряд чисел - хотя тоже можно было бы, с той же основательностью, что в случае исчисления пространства ("сначала идет" 1, "потом идет" 2 и т.д.). Можно напридумывать много парадоксов с делением на отрезки: например, "мы никогда не умрем" (прежде чем прожить жизнь, нужно прожить 1/2 ее, до того - 1/4 и т.д.; не знаю - может и у Зенона было что-то в этом роде)

 

[rspzd]

У Кудрявцева в "Истории физики" ЕМНИП указывается, что парадокс снимается введением понятия скорости.

Выбор действующих лиц апории предполагает, что с понятием "скорость" Зенон был знаком

 

[alexios]

Мне кажется, философский смысл апорий - в демонстрации ограниченности человеческого разума как инструмента познания, особенно в тех вопросах, которые как-то связаны с бесконечностью Ведь никакой логической ошибки в зеноновской трактовке той же апории о черепахе нет. Замечательная иллюстрация того, что даже вполне логичные умозаключения могут привести к абсурдному выводу.

 

[johnny]

Их мышление всегда подчинялось законам логики. Убогие
недоумки.

http://www.lib.ru/INOFANT/RASSEL_E/diavolistika.txt

Во вся-
ком случае, можно доказать, что никакая пуля не попадет в бегущего.
- Чушь! - воскликнул Шахдинг, который сам некогда дважды сумел
увернуться от пуль.
- Когда пуля достигнет точки, в которой находился бегущий в мо-
мент выстрела, тот уже будет далеко впереди, - сказал Гилдер. - В
этом случае пуле нужно преодолеть это дополнительное расстояние, но
окажется, что там его нет - он уже убежал дальше. Она покрывает и
это расстояние - и вновь его не находит. Так оно и продолжается.
- Но ведь пуля постепенно теряет пробивную силу и перестает от-
вечать своему назначению, - ехидно заметил Шахдинг.
- На любое расстояние, которое преодолевает пуля, уходит опреде-
ленный, пусть очень малый, отрезок времени, - разъяснял Гилдер. - И
даже если делить частицу времени на все уменьшающиеся доли, все
равно в результате получится не ноль, а бесконечный ряд небольших
отрезков времени, составляющий в сумме бесконечный временной пери-
од. Подсчитайте-ка сами, и вы поймете, что пуля не попадет в бегу-
щего, потому что не сможет его настигнуть.

 

[Янус]

А никто не может назвать непосредственно источник, где эти апории можно прочитать "из первых рук"?

 

[Michael]

Аристотель, Физика, гл. 9.

 

[Sextus Pompey]

Книга 6, Глава 9.

 

[Янус]

To: Michael
To: Sextus Pompey
Спасибо!