Точки на земном шаре

[Бенни]

Это геометрическая задача. В ней предполагается, что Земля - идеальный шар радиусом около 6400 км, по поверхности которого можно беспрепятственно перемещаться в любом направлении.

Спрашивается, какие точки этого шара обладают следующим свойством: если, выйдя из этой точки, пройти 10 км на юг, потом 10 км на запад и 10 км на север, то вернешься в исходную точку. Одно решение очевидно: Северный полюс. А есть ли другие? Если да, то какие именно? Если нет, то почему?

 

[Гиви Чрелашвили]

Если это идеальный шар, то все точки на поверхности шара обладают одинаковым свойством. В этом случае я не вижу, чем точка Северного полюса отличается от любой другой точке на поверхности шара.

 

[AlexeyP]

Бенни, такие точки, кроме севера - все точки одной параллели вокруг Южного полюса. Я стереометрию не помню совершенно, но с учетом, что это очень близко около полюса, можно упростить до планиметрии, и представить так, что это все точки, отстоящие от Южного полюса на (5/Pi + 10)км. С учетом сферичности земли должно быть чуть-чуть побольше. Я угадал?

 

[AlexeyP]

Если это идеальный шар, то все точки на поверхности шара обладают одинаковым свойством. В этом случае я не вижу, чем точка Северного полюса отличается от любой другой точке на поверхности шара.

Отличие в том, что точки "Север" и "Юг" - именованные, и говоря "на Север" или "на Юг" мы имеем в виду именно в направлении соответствующих точек.

 

[Бенни]

Алексей, ход Ваших мыслей мне нравится, но пока ответ неполон.

 

[AlexeyP]

(2* Pi * 6400 / 360 ) * ( arcsin( 10 / (2 * Pi * 6400)*180/Pi)) + 10 = 111,644*0,01426 + 10 = 11,5924 км, на этом удалении от Южного полюса находятся все точки, отвечающие условию задачи.

В произведении первый множитель - длина дуги, соответствующая одному градусу, второй - количество градусов в углу между лучом из центра земли к югу и лучом из центра земли через параллель, длиною в 10 километров. Впервые лет за 16 вспомнил тригонометрию.

 

[Michael]

Бенни, такие точки, кроме севера - все точки одной параллели вокруг Южного полюса. Я стереометрию не помню совершенно, но с учетом, что это очень близко около полюса, можно упростить до планиметрии, и представить так, что это все точки, отстоящие от Южного полюса на (5/Pi + 10)км. С учетом сферичности земли должно быть чуть-чуть побольше. Я угадал?

На самом деле таких параллелей много. Пройдя 10 км на юг, мы должны оказаться на параллели, пройдя по которой 10 км на запад мы окажемся в той же точке. Т.е., нам нас устраивают параллели с длиной 10, 5, 2.5 и т.д. км.

 

[AlexeyP]

Действительно.

 

[Бенни]

Вот теперь решение полное.

AlexeyP и Michael, поздравляю вас!

 

[AlexeyP]

Спасибо, отличная загадка!