Связь, наверное, есть, но мне кажется продуктивнее рассматривать её не как "не было бы христианства - империя бы устояла", а "как повлияло христианство на то, что падение было именно таким", то есть видеть в христианстве не причину, а сопутствующий фактор, повлиявший на форму явления. Это не касаясь правомерности самого термина "падение".
А почему Рим перестал быть столицой империи уже в кризисном третьем веке?
Почему Диоклетиан перевел центр в милан?
Почему и позже столица западной римской империи и остготов была в заштатной Равенне?